ČÍSLA

přirozená čísla - (1,2,3,4 ...) definují se jako kardinální čísla konečných množin: p.č. je objekt, který se přiřazuje konečné množině tak, aby ekvipotentním množinám bylo přiřazeno totéž číslo a neekvipotentním množinám byla přiřazena různá čísla; množina všech přirozených čísel se značí N0 a pokud je tato množina doplněna o nulu, pak se značí N; přiřazujeme-li jednotlivým prvkům množiny postupně čísla 1,2,3 ... , poslednímu prvku v příslušném uspořádání je vždy přiřazeno totéž přirozené číslo, které zde charakterizuje uspořádání množiny a jde o tzv. ordinální číslo. Na množině N0 můžeme kromě uspořádání zavést i operace sčítání o násobení, přitom však k těmto operacím neexistují inverzní operace definované všude v N0.

racionální čísla - (-2,-1,0,1,2) se označují jako množina Q; každá uspořádaná dvojice (a,b) je ekvivalentní uspořádané dvojici (0,0) při a=b, uspořádané dvojici (c,0) pro c=a-b při a>b a uspořádané dvojici (0,c) pro c=b-a při a<b; každé racionální číslo představované dvojicí (c,0) se značí symbolem +c (kladné racionální číslo Q+), každé r.č. představované dvojicí (0,c) se značí -c (záporné r.č. Q-), pro r.č. představované dvojicí (0,0) užíváme symbolu 0 (nula)
každé r.č. je vytvořeno na základě jistého nezáporného čísla a toto číslo se pak nazývá jeho absolutní hodnota - dvě r.č., které mají tutéž absolutní hodnotu, ale různá znaménka, se nazývají čísla opačná; taqké v množině Q se zavádí uspořádání, sčítání a násobení

iracionální čísla - číslo, které nelze zapsat jako podíl dvou přirozených čísel (např. √2); také viz zde 'reálná čísla'

reálná čísla - tvoří množinu značenou R; zkoumáním tohoto pojmu začalo u Pythagorejců: uvažovali čtverec o délce strany rovné 1 a tak tedy délka jeho úhlopříčky musí být číslo, jehož druhá mocnina je rovna 2 (podle Pythagorovy věty); dostáváme tedy další doplnění množiny Q zavedením reálných čísel; konstrukce množiny všech r.č. jako rozšíření racionálních čísel pocházejí až z konce 19. stol. - uvažujme rozklad množiny Q na dvě třídy A1 a A2, obě neprázdné a takové, že každý prvek první z nich je menší než každý prvek druhé (tzv. Dedekindův řez); dokáže se, že jsou tři možné případy: A1 má maximum a A2 nemá minimum, A2 má minimum a A1 nemá maximum, A1 nemá maximum a A2 nemá minimum; zavedeme reálné číslo α jako prvek, který odděluje třídy A1 a A2 - v prvním případě je to maximum množiny A1, ve druhém případě minimum množiny A2 a ve třetím případě je α nově zavedené číslo, které není racionální a tak se mu říká iracionální a píšeme jej α = (A1, A2); také na R se zavádí uspořádání a početní operace; všechny vlastnosti, které platí v Q, platí i v R a navíc platí, že pro každé přirozené číslo n existují n-té odmocniny ze všech kladných reálných čísel

komplexní čísla mají tvar a+bi, kde a i b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka, což je takové imaginární číslo jehož druhá mocnina je rovna -1 a píše se také i=√-1; a se nazývá reálná část k.č. a b se nazývá imaginární část k.č.; číslu a+bi lze přiřadit vektor, pak mluvíme o reálné ose a o imaginární ose a rovina v níž takto k.č. zobrazujeme se nazývá Gaussova rovina; množina k.č. C je rozšířením množiny R; početní operace na množině C jsou definovány takto:
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i,
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
na množině C je definována rovnost tak, že a+bi = c+di právě tehdy, je-li a=c, b=d;
uspořádání se na množině C nezavádí; dvě k.č. se nazývají komplexně sdružená, jestliže mají stejné reálné části a jejich imaginární části jsou navzájem opačná čísla; jejich součet je 2a, jejich součin a2 + b2; absolutní hodnota k.č. a+bi je √(a2 + b2), v Gaussově rovině je to vzdálenost od počátku

komplexní jednotka je komplexní číslo, jehož absolutní hodnotou je 1; všechny komplexní jednotky vyplňují v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a poloměrem 1; každou komplexní jednotku ε můžeme psát ve tvaru
ε = cos ε + i sin ε,
kde ε je velikost orientovaného úhlu JOE, kde E,O,J jsou body v Gaussově rovině, které odpovídají komplexním číslům ε, 0 + 0i, 1 + 0i, tzv. argument;
při násobení komplexních jednotek se argumenty sčítají:
(cos ε + i sin ε)(cos ψ + sin ψ) = cos(ε + ψ) + i sin(ε + ψ)

algebraické číslo, každé reálné číslo, které je kořenem rovnice P(x) = 0, kde P(x) je nenulový polynom s celočíselnými koeficienty; např. √3 je a.č., protože je řešením algebraické rovnice x2 - 3 = 0 nebo číslo -2/7 je a.č., protože je řešením algebraické rovnice 7x + 2 = 0; každé racionální číslo je algebraické

desetinné číslo je číslo, v jehož vyjádření v desítkové soustavě se vyskytují číslice za desetinnou čárkou; jestliže zápis d.č. má konečný počet číslic za desetinnou čárkou, znamená to, že jde o racionální číslo, které může být vyjádřeno zlomkem, jehož jmenovatel je mocninou deseti; jestliže je v zápisu nekonečně mnoho číslic za desetinnou čárkou, ale od určitého místa se periodicky opakují, jde opět o racionální číslo - nazývá se číslo periodické a skupina číslic, která se takto opakuje se nazývá perioda; pokud je v zápisu nekonečně mnoho číslic za desetinnou čárkou a neexistuje perioda, jde o číslo iracionální

dokonalé číslo - každé přirozené číslo, které se rovná součtu svých dělitelů menších než toto číslo samo; např. číslo 28 je číslo dokonalé, protože 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; obecně platí, je-li 2n+1 - 1 prvočíslo, pak číslo 2n(2n+1 - 1) je číslem dokonalým

imaginární číslo je komplexní číslo, jehož imaginární část je nenulová (viz komplexní čísla)

ryze imaginární číslo, každé komplexní číslo tvaru ai, kde a je reálné nenulové číslo a i je imaginární jednotka

liché číslo je celé číslo, které není dělitelné dvěma; lze je vyjádřit jako 2n + 1, kde n je celé číslo

nesoudělná čísla jsou dvě přirozená čísla, která nemají společný dělitel různý od jedné

soudělná čísla jsou dvě přirozená čísla, která mají kromě 1 alespoň jednoho společného dělitele

periodické číslo je číslo vzniklé dělěním dvou čísel a kdy podíl těchto čísel má zbytek se stále se opakující číslicí (či číslicemi, např.: 7/9 = 0,777 ... nebo 26/11 = 2,3636363636 ...)

pýthagorejská čísla, označení trojice přirozených čísel x,y,z, která splňují rovnici x2 + y2 = z2

sudé číslo, celé číslo dělitelné dvěma, lze je vyjádřit jako 2n, kde n je celé číslo

transcedentní číslo, číslo, které není algebraické; mezi t.č. patří např. číslo e a číslo pí; každé t.č. je iracionální; název pochází od Eulera, který řekl, že tato čísla přesahují (lat. transcedunt) možnosti algebraických metod