SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

I. Prostor a čas v klasické mechanice

základní poznatky klasické mechaniky (17. stol., G.Galilei, I.Newton):

1. polohu tělesa v prostoru určujeme vždy vzhledem k okolním tělesům, tj. vzhledem k určité vztažné soustavě; polohu bodu v prostoru určujeme pomocí tří souřadnic (x,y,z) v pravoúhlé soustavě souřadnic; děj který nastane v určitém místě prostoru v určitém časovém okamžiku, nazýváme bodová událost - každá událost je charakterizována čtveřicí veličin x,y,z,t, z nichž první tři určují místo a čtvrtá (t) určuje čas, ve kterém událost nastala
2. události, které se udály v dané vztažné soustavě na stejném místě nebo ve stejném čase se nazývají události soumístné, resp. současné
3. popis pohybu těles je nejjednodušší ve vztažných soustavách, v kterých platí 1. pohybový zákon: každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno působením jiného tělesa tento stav změnit - takovéto vztažné soustavy se nazývají inerciální; tedy zrychlující či zbržďující se soustava je soustavou neinerciální
4. čas je absolutní: plyne stejně rychle ve všech vztažných soustavách
5. současnost událostí je absolutní: dvě události, které se udály v různých místech, jsou současné v jedné soustavě, pak jsou současné i ve všech ostatních vztažných soustavách
6. délka předmětů je absolutní: má-li předmét ve vztažné soustavě 'a' délku 'x' pak ve vztažné soustavě 'a´' má délku 'x´', tedy x = x´
7. hmotnost tělesa je stálá a nezávislá na rychlosti, kterou se těleso pohybuje
8. rychlost tělesa může být libovolná, což plyne z 2. pohybového zákona: a = F/m; působí-li stálá síla F na těleso o stálé hmotnosti m dostatečně dlouho, vzrůstá (podle vztahu v = at) rychlost tělesa neomezeně
9. zákon skládání rychlostí je v klasické fyzice velmi jednoduchý: u = u´ + v (pokud se vlak pohybuje rychlostí 'v' a uvnitř vlaku se pohybuje člověk rychlostí 'v' pak je celková rychlost člověka, ve vztahu k Zemi, součtem obou rychlostí)
10. mechanický (Galileiho) princip relativity: ve všech inerciálních soustavách platí stejné zákony Newtonovy klasické mechaniky - všechny inerciální vztažné soustavy jsou naprosto rovnocenné

Tyto poznatky klasické fyziky jsou ve shodě s každodenní zkušeností, avšak tato zkušenost je omezena na obor rychlostí podstatně menších než je rychlost světla a právě problémem platnosti fyzikálních zákonů při rychlostech blížící se rychlosti světla se zabývá speciální teorie relativity

II. Vznik speciální teorie relativity (dále jen STR)

V 19. století, před vznikem STR, se fyzikové domnívali, že celý svět je zaplněn zvláštním prostředím - tzv. světelným éterem, v němž se světelné vlnění šíří podobně jako např. akustická vlna ve vzduchu nebo vlna na povrchu vody, tj. postupným rozkmitáváním čstic nějakého prostředí; vzhledem k éteru by se světlo šířilo ve všech směrech stejnou rychlostí.
Jednoduchá úvaha založená na klasickém zákonu skládání rychlostí vede k závěru, že šíří-li se světlo ve vakuu vzhledem k soustavě K ve všech směrech stejnou rychlostí 'c', pak v jiné inerciální vztažné soustavě K´, která se vzhledem k soustavě K pohybuje rychlostí 'v', je rychlost šíření světla v různých směrech obecně různá (v+c či v-c)
Ze všech inerciálních vztažných soustav by tedy jedině soustava K spojená s éterem měla tu vlastnost, že vzhledem k ní by se světlo šířilo ve všech směrech stejnou rychlostí; význačnou vztažnou soustavu K bychom pak mohli nazvat absolutní vztažná soustava a klid nebo pohyb tělesa vzhledem k této soustavě absolutní klid, resp. absolutní pohyb.
Je zřejmé, že Země není absolutní vztažná soustava (nezaujímá žádné mimořádní postavení ve vesmíru) a fyzikové 19. století předpokládali, že světlo se šíří vzhledem k Zemi v různých směrech různými rychlostmi a snažili se definovat tedy absolutní pohyb Země.
Výsledky optických pokusů byly však negativní: světlo se ve všech směrech šířilo vzhledem k Zemi stejnou rychlostí a žádná teroie (či hypotéza) tento fakt nevysvětlila...

III. Základní principy STR

Výše uvedené rozpory v klasické fyzice vyřešil A.Einstein a r. 1905 byly publikovány v jeho práci 'K elektrodynamice pohybujících se těles', jako speciální teorie relativity; hlavní myšlenky STR:

• princip relativity: ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony
  z uvedeného principu STR lze vyvodit podobné důsledky jako z mechanického principu relativity (viz I.10); tyto důsledky lze nyní rozšířit na všechny děje.
  např.: dva pozorovatelé v různých inerciálních vztažných soustavách provedou dva stejné pokusy a jelikož podle principu relativity platí v obou soustavách pro všechny děje stejné zákony, musí být výsledky těchto pokusů také stejné - nelze žádným pokusem provedeným uvnitř soustavy rozhodnout, zda se soustava vzhledem k jiné inerciální soustavě pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem, popř. zda je v klidu. Z hlediska STR jsou všechny inerciální vztažné soustavy naprosto rovnocenné. Neexistuje žádná absolutní soustava, stejně jako neexistuje absolutní pohyb či klid. Také neexistuje světelný éter (viz II.) - světlo je elektromagnetické vlnění, tedy reálný objekt a může existovat samostatně ve vakuu a ke svému šíření nepotřebuje žádné zvláštní prostředí (tedy éter).
• princip stálé rychlosti světla: rychlost světla v libovolné inerciální soustavě je ve všech směrech stejná, nezávisle na vzájemném pohybu světelného zdroje a pozorovatele
  Podle tohoto principu by např. dva pozorovatelé P1 a P2, z nichž se jeden se svou raketou pohybuje vzhledem k soustavě K rychlostí orientovanou souhlasně se směrem šíření světla a druhý opačně orientovanou rychlostí, naměřili by oba pozorovatelé stejně velkou rychlost světla a stejnou rychlost by naměřil i třetí pozorovatel, který by byl vzhledem k soustavě K v klidu.

Právě z těchto principů vyplývají ve fyzice velmi důležité důsledky (viz dále)

IV. Relativnost současnosti

Podle klasické fyziky je současnost událostí absolutním pojmem, tzn. že dvě současné události, které nastaly v různých místech zvolené inerciální vztažné soustavy K´, jsou současné také v kterékoliv jiné inerciální vztažné soustavě K.
Podle STR však platí: dvě nesoumístné události, které jsou současné vzhledem k soustavě K´, nejsou současné vzhledem k soustavě K
Tento překvapující závěr znamená, že současnost dvou nesoumístných událostí je relativní pojem - bez udání vztažné soustavy nemá smysl hovořit o tom, zda dvě události jsou, nebo nejsou současné

[pozn.: zdánlivě paradoxní závěr o relativnosti současnosti událostí je způsoben tím, že rychlost světla v obou inerciálních soustavách K´ a K je stejná. Závěr o relativnosti současnosti dvou událostí (a další závěry STR) jsou pro nás natolik nezvyklé, že musíme překonávat jisté psychické bariéry. V běžném životě se nesetkáváme s rychlostmi blízkými rychlosti světla, proto se nám zdají některé jevy, které se projevují při rychlostech blízkých rychlosti světla nezvyklé.]

V. Dilatace času

1. Dilatace času se projevuje tím, že hodiny, které se pohybují vzhledem k určité vztažné soustavě K, jdou pomaleji než hodiny, které jsou v soustavě K v klidu
2. Při úvahách o dilataci času lze používat tzv. světelné hodiny, jejichž chod v klidu nebo v pohybu vzhledem k pozorovateli lze studovat jen užitím základních principů STR. Výsledkem těchto myšlenkových experimentů se světelnými hodinami: hodiny H´ pohybující se vzhledem k pozorovateli jdou pomaleji než hodiny H, které jsou vzhledem k tomuto pozorovateli v klidu.
3. matematický vztah pro dilataci času: Δt = Δt´ / √(1-v2/c2) a vzhledem k tomu, že v < c je (v2/c2) < 1 a odtud tedy Δt´ < Δt
4. Experimentální ověření vztahu pro dilataci času byly potvrzeny mnoha pokusy a jedním z přesvědčivých je závislost doby života mezonů pí (π+) na jejich rychlosti. Pion je nestabilní částice, která se rychle rozpadá na jiné částice a střední doba života měřená v klidové soustavě (laboratoř, vzhledem k níž by se mezon nepohyboval) je 2,5 x 10-8 s. Ze zákonů klasické fyziky vyplývá, že kdyby se mezon pohyboval vzhledem k laboratoři rychlostí v = 0,99c, urazil by od okamžiku vzniku do svého rozpadu přibližně 7,4 m, ale experimenty ukázaly, že střední dráhy, které mezony za těchto podmínek urazily jsou ve skutečnosti mnohem větší. Pokud se tedy užije vztahu STR, dostaneme po dosazení výsledek střední dráhy o velikosti 53 m.

   [pozn.: vztah pro dilataci času byl ověřen již při rychlostech dopravního letadla. R. 1971 v USA, byly porovnány cesiové hodiny přenesené letadlem kolem Země s hodinami, které zůstaly na Zemi. Hodiny, které se pohybovaly kolem Země, se zpozdily vzhledem k hodinám, které zuůstaly na Zemi, o 203 nanosekund ± 10 ns]

VI. Kontrakce délek

Poněvadž měření délky pohybující se tyče vyžaduje současné určení poloh koncových bodů měřeného předmětu a současnost událostí je relativní pojem, je rovněž délka předmětu relativní pojem vzhledem k volbě vztažné soustavy.
Vztah mezi délkou tyče l0 v klidové soustavě K´ a délkou tyče l v soustavě K, vzhledem k níž se tyč pohybuje rychlostí v < c, nazýváme vztah pro kontrakci délek: l = l0 √(1 - v2 / c2)
Délka tyče 'l' v soustavě, vzhledem k níž se tyč pohybuje rychlostí 'v', je tedy vždy menší než délka tyče 'l0' v soustavě klidové a tento jev se nazývá kontrakce délek

VII. Skládání rychlostí v STR

Uvažujme inerciální soustavu K´ pohybující se vzhledem k jiné soustavě K rychlostí 'v' a v soustavě K´ nechť se pohybuje částice stálou rychlostí u´, pak z klasické fyziky vyplývá, že rychlost takové částice bude u = u´ + v
V STR však tento vztah neplatí: bude-li se v soustavě K´ pohybovat foton rychlostí světla 'c' a soustava sama se bude pohybovat vzhledem k soustavě K jakoukoliv nenulovou rychlostí 'v', pak by platilo že rychlost fotonu by byla vyšší než rychlost světla (c + v), což odporuje druhému postulátu STR (viz III.)
Einstein odvodil obecnější relativistický zákon pro skládání rychlostí: u = (u' + v) / [1 + u'v / c2]
Relativistický vztah pro skládání rychlostí je tedy ve shodě s principem stálé rychlosti světla, podle něhož se světlo vzhledem k oběma vztažným soustavám šíří stejnou rychlostí

VIII. Základní pojmy relativistické dynamiky

Při rychlostech mnohem nižších než je rychlost světla ve vakuu potvrzují experimenty správnost klasické (Newtonovské) dynamiky. V STR je však třeba obsah základních pojmů a zákonů klasické dynamiky pozměnit, aby vedly ke správným výsledkům i při rychlostech blížící se rychlosti světla ve vakuu (v = c)

1. relativistická hmotnost - hmotnost každého tělesa se s jeho rostoucí rychlostí zvětšuje podle vztahu: m = m0 / √(1 - v2 / c2) kde 'm' se nazývá relativistická hmotnost a 'm0' je klidová hmotnost, tj. hmotnost tělesa, která je vzhledem k dané vztažné soustavě v klidu.
   Při rychlostech do 0,6 c zůstává relativistická hmotnost přibližně rovna hmotnosti klidové. Přibližuje-li se rychlost k rychlosti světla, vzrůstá pak relativistická hmotnost až k nekonečnu (m = m0 / 0)

   [pozn.: tento vztah byl experimentálně ověřen: např. urychlovač elektronů ve Stanfordu v USA urychlil elektrony tak, že vylétaly s 40000 x vyšší rychlostí než je jejich klidová hmotnost a to je jejich rychlost vždy menší než rychlost světla, rozdíl je menší než 3 x 10-9 c]

2. relativistická hybnost
   Hybnost je v klasické fyzice definována vztahem p0 = m0v, kde m0 je setrvačná hmotnost tělesa a 'v' je rychlost ve zvolené vztažné soustavě. Zákon zachování hybnosti (celková hybnost izolované soustavy těles zůstává u všech dějů probíhajících uvnitř soustavy konstantní) platí při rychlostech mnohem nižších než je rychlost světla pro takto definovanou hybnost.
   Einstein ukázal, že zákon zachování hybnosti platí pro izolovanou soustavu těles při libovolné rychlosti 'v', nahradíme-li klasickou hybnost relativistickou hybností 'p', definovanou vztahem: p = mv = m0 / √(1 - v2 / c2)v

IX. Vztah mezi energií a hmotností

Podle kalsické dynamiky není mezi energií tělesa 'E' a jeho setrvačnou hmotností m0 žádný obecně platný vztah. V relativistické dynamice souvisí změna energie tělesa se změnou jeho hmotnosti (Δm = m - m0). Einstein obecněji dokázal, že se při každé změně celkové energie soustavy změní také její hmotnost, podle vztahu: ΔE = Δmc2, kde ΔE je změna celkové energie soustavy, Δm změna její hmotnosti a 'c' rychlost světla ve vakuu. Einstein usoudil, že také mezi celkovou energií soustavy E a hmotností soustavy 'm' platí vztah: E = mc2 - rovnice vyjadřuje Einsteinův vztah mezi hmotností a energií a patří mezi nejvýznamější výsledky STR - energie a hmotnost jsou dvě různé veličiny, ale podle této rovnice jsou však nerozlučně spjaty tak, že jsou si navzájem úměrné.
Pro celkovou energii soustavy platí zákon záchování energie podle něhož celková energie izolované soustavy zůstává při všech dějích probíhajících uvnitř soustavy konstatní.