PRVOČÍSLA

definice

Prvočíslem nazýváme každé celé číslo větší než 1, které je dělitelné jen jedničkou a samo sebou, tedy 2,3,5,7,11 ... a např. číslo 15 není prvočíslem, protože je dělitelné nejen 1 a 15, ale také 3 a 5. Každé celé číslo větší než 1 je buď prvočíslem nebo jej lze zapsat jako součin několika prvočísel (např. 18 = 2x3x3) a v tomto ohledu jsou tedy prvočísla "základními stavebními kameny" matematiky - základní věta aritmetiky

Eukleides a důkaz sporem

Prvočísla se zprvu objevují poměrně často, ale mezi vyššími čísly jejich počet řídne (viz zde - hustota prvočísel)
Nabízí se tedy otázka: zastaví se někde posloupnost prvočísel nebo bude pokračovat do nekonečna ? Odpověď jako první nalezl Euklides: existuje nekonečně mnoho prvočísel a dokázal to sporem (důkaz sporem, reductio ad absurdum)

Euklides předpokládal, že existuje jen konečný počet prvočísel a v tomto případě by existovalo největší prvočíslo, označme jej 'p':
2,3,5,7, ... p.
Euklides se rozhodl prozkouma t číslo N
N = 2 x 3 x 5 x ... x p + 1
tedy číslo vzniklé tak, že přičteme jedničku k součinu všech prvočísel. Toto číslo je nepochybně větší než 'p' a protože je 'p' největší prvočíslo, 'N' být prvočíslem nemůže - lze jej totiž zapsat jako součin jiných prvočísel a vždy se zbatkem 1.

Zde je spor a existuje jediná možnost jak se s ním vypořádat: prvočísel musí být nekonečné množství (protože jich nemůže být konečně mnoho - důkaz sporem)

hustota prvočísel

Mezi malými čísly se prvočísla vyskytují velmi hustě, ale mezi čísly velkými jejich výskyt řídne. Abychom spočítali hustotu prvočísel menších než N, označme ji DN, pak vezmeme číslo P(N), označující počet prvočísel menších než N a vydělíme ho číslem N, tedy: DN = P(N) / N. Následuje tabulka hodnot prvočísel v intervalech do 10, 100, 1000 ...

N	10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000
DN (v %)	50	24	16,8	12,3	9,6	7,8

Čím větší interval, tím nižší hustota prvočísel. Pokračuje toto řídnutí do nekonečna, nebo existuje číslo, u kterého se pokles hustoty obrátí a nebo dokonce existuje číslo, za nímž již žádná prvočísla nejsou ?

prvočíselná věta

Karl F. Gauss, 1791; čtrnáctiletý Gauss (!) si všiml, že hustota prvočísel (viz výše) DN = P(N) / N se přibližně rovná 1 / ln(N), kde 'ln' je přirozený logaritmus čísla N. Čím vyšší je N, tím je aproximace lepší. Gauss sice svoji myšlenku nedokázal, ale byla potvrzena r. 1896 (nezávisle Jacques Hadamard a Charles de la Vallée Poussin) a právě toto potvrzení původní Gaussovi myšlenky se nazývá "prvočíselná věta". R. 1850 dokázal P.I.Čebyšev, že rozložení prvočísel není tak chaotické - mezi libovolným číslem N a jeho dvojnásobkem 2N se nachází alespoň jedno prvočíslo
Tento výsledek má dva významné aspekty:

• ačkoli je výskyt prvočísel zdánlivě náhodný, přesto existuje systematické schéma, podle kterého jejich hustota řídne - vždy najdeme shluky několika prvočísel blízko u sebe a také existují dlouhé úseky, v nichž se žádná prvočísla nevyskytují. Nicméně, pokud se podíváme na posloupnost přirozených čísel jako na celek, je zde zřetelná struktura: čím větší je N, tím více se hustota DN blíží číslu 1 / ln(N)
• závažný rys prvočíselné věty: přirozená čísla jsou diskrétní hodnoty (pouze celá čísla), a tato čísla byla objevena před cca 8000 lety (pro obchodní účely) a funkce přirozeného logaritmu (fce není diskrétní) byla objevena cca před 200 lety - jak je možné, že existuje mezi těmito dvěmi 'záležitostmi' spojitost ?

problém prvočíselných dvojčat

p.p.d. klade otázku, zda existuje nekonečně mnoho dvojic prvočísel, která se liší o dvojku, jako jsou např. prvočísla 11 a 13 nebo 17 a 19
Prozatím (r. 2005) byla nalezena nejvyšší dvojice prvočísel s pomocí počítače o hodnotě 16 869 987 339 975 x 2171960 ± 1 - je to číslo, které má 51779 cifer.

Goldbachova domněnka

Christian Goldbach, 1742; tvrdí, že každé sudé číslo větší než 2 je součtem právě dvou prvočísel. Prozatím (r. 2004) byla tato domněnka potvrzena pro sudá čísla do 2 x 1017, ale samotná domněnka zůstala nezodpovězena. Nejblíže k řešení se dostal čínský matematik Jeng-Run Chen, který dokázal (1966), že každé sudé číslo větší než jisté číslo N je buď součtem dvou prvočísel nebo součtem prvočísla a součinu dvou prvočísel - touto metodou sice nelze zjistit přesnou hodnotu čísla N, pouze víme, že takové číslo existuje.